عبد الحليم "الطرق التماثلية والحلول المضبوطة لأنظمة من المعادلات التفاضلية غير الخطية"

إن الهدف الأساسى لهذه الرسالة هو تطبيق الطرق التماثلية و الطريقة الموجية على معادلات تفاضلية جزئية للحصول على حلول مضبوطة لهذه المعادلات، حيث تتكون الرسالة من أربعة أبواب مقسمة كالتالى:-

الباب الأول:-

وينصب الاهتمام فى هذا الباب على عرض الطرق المستخدمة فى الأبواب التالية وكذلك تطور هذه الطرق وما أدخل عليها من تعديلات0

الباب الثانى:-

لقد قمنا فى هذا الباب بتحليل كلا من معادلة بنجامين-أونو ومعادلة برجر فى صورتها المركبة وذلك باستخدام الطريقة التماثلية حيث يتكون هذا الباب من جزئين:-

أولا:- بتطبيق الطريقة التماثلية على عادلة بنجامين- أونو حصلنا على ثلاثة اختزالات ومنها تم الحصول على ثلاثة حلول مضبوطة لهذه المعادلة0

ثانيا:- عندما طبقنا الطريقة التماثلية على الصورة المركبة لمعادلة برجر فى بعدين توصلنا إلى خمسة اختزالات، أول هذه الاختزالات حصلنا منه على حل بدلالة دالة الخطأ، بينما الاختزالين الثانى والثالث أدى كل منهما إلى معادلة تفاضلية عادية وكانت المعادلة الناتجة عن الاختزال الثانى من الرتبة الثانية بينما نتج عن الاختزال الثالث معادلة تفاضلية عادية من الرتبة الأولى؛ أما الاختزال الرابع فقد حصلنا منه على حل مضبوط، وأخيرا توصلنا إلى حل مضبوط يعتبر جديدا وذلك من الاختزال الخامس0

الباب الثالث:-

فى هذا الباب كان الاهتمام منصبا على حل مسألة كوشى ومحاولة الحصول على حلول جديدة لها وذلك بتطبيق الطريقة التماثلية والطريقة المباشرة على هذه المسالة، وفى نهاية هذا الباب قمنا بحل معادلة درين فيلد- سوكولوف- ويلسون0

ولقد ركزنا فى بداية هذا الباب على حل مسألة كوشى بالطريقة التماثلية وتوصلنا إلى حالتين نتج عن كل منهما معادلة تفاضلية جزئية من الرتبة الرابعة ثم قمنا بحل هذه المعادلة لكلتا الحالتين وذلك باستخدام تحويلة كروسكال واستخدام الطريقة الموجية لـ جيفرى وواكس ولقد حصلنا من خلال ذلك على عدد من الحلول المضبوطة والتى تعتبر حلولا جديدة لهذه المعادلة0

وفى الجزء الثانى من هذا الباب طبقنا الطريقة المباشرة على مسألة كوشى للحصول على اختزال تماثلى لها وفى هذه المحاولة استخدمنا هذه الطريقة عدة مرات ومن ثم حصلنا على معادلة تفاضلية عادية من الرتبة الرابعة ثم استطعنا اختزالها إلى معادلة تفاضلية عادية من التبة الثانية0

وفى نهاية هذا الباب استخدمنا التحليل البعدى لحل معادلة درين فيلد- سوكولوف- ويلسون للحصول على حل جديد لهذه المعادلة ولقد نجحنا فى محاولتنا هذه فى الحصول على حل جديد مضبوط للنظام محل الدراسة0

الباب الرابع:-

يتكون هذا الباب من قسمين ، حيث تناولنا فى القسم الأول معادلة ويثام- برور- كوب باستخدام الطريقة التماثلية ولقد نتج عن هذا التحليل أربع حالات حصلنا فى الحالتين الأولى والثانية على معادلتين تفاضليتين عاديتين إحداهما من الرتبة الثالثة والأخرى من الرتبة الثانية وعلاوة على ذلك حصلنا فى الحالتين الأخريين على حل مضبوط جديد لهذه المعادلة وكذلك حصلنا على حلين بدلالة الإحداثيات0

وفى القسم الثانى من هذا الباب طبقنا الطريقة التماثلية على معادلة كوبرشميدت وهذا أدى أيضا إلى معادلتين تفاضليتين عاديتين من الرتبة الثانية وبالبحث عن حلول للحالات الأخرى حصلنا على حل مضبوط و حل أخر بدلالة الإحداثيات0"